Los orígenes de la geometría*[1]
[*Resumen del capítulo “El Manantial” del libro Estudio de las geometrías de Howard Eves, México, UTEHA.]
La geometría espontánea.
Las personas desarrollan de manera natural gran cantidad de conocimientos geométricos. Estos conocimientos se adquieren desde la infancia y tienen su origen en la capacidad de los seres humanos para observar y reconocer las características exteriores de los objetos y comparar formas y tamaños.
Desde muy pronta edad se adquiere la noción de distancia y se aprende que el camino más corto entre dos puntos es la línea recta. Se reconoce la conveniencia de que ciertas superficies estén limitadas por líneas rectas, lo que conduce a las primeras figuras geométricas, como son los cuadrados, rectángulos y otros polígonos. De hecho, cuando se trata de puntos muy separados entre sí, parece natural pensar la distancia entre ellos en términos de líneas rectas o, cuando se barda un terreno, fijar primero postes en las esquinas y luego tender los hilos o alambres en línea recta.
Otras situaciones de la vida cotidiana conducen a nociones como las de líneas verticales y horizontales, líneas paralelas y perpendiculares; a distinguir entre líneas curvas y rectas, o entre los cuerpos redondos y aquellos que tienen sus caras planas.
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| Ola del desierto de Utah, en Arizona |
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| Montes Zhangye Danxia, en China |
Alrededor de tres o dos mil años antes de nuestra era, el desarrollo de las civilizaciones y la necesidad de enfrentar problemas cada vez más complejos, relacionados con la agricultura y la construcción, condujo a los hombres de la antigüedad a descubrir que ciertos hechos responden a una misma ley o regla geométrica. Se pasó entonces de la geometría espontánea de las primeras culturas a una geometría sistemática, de naturaleza fuertemente empírica. Los historiadores parecen concordar en que este hecho se dio de manera independiente en las cuencas de los ríos Nilo en Egipto, Tigris y Éufrates en la antigua Mesopotamia, Indo y Ganges en la India y Hoang Ho y Yang Tsé Kiang en China.
Los registros más antiguos que se conocen de la actividad del hombre en el campo de la geometría datan aproximadamente de 3000 a.C. Consisten en unas tabletas de arcilla cocidas al sol descubiertas en Mesopotamia y en las que se encuentran grabados caracteres cuneiformes.
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Civilizaciones
Los asirios y babilonios
La rueda inventada por los sumerios 3500 años A.C., marca en la historia el inicio de la civilización; inventaron la escritura, crearon la aritmética y las construcciones de sus ciudades revelan la aceptación de las figuras geométricas. En la antigua Mesopotamia florece la cultura de los babilonios, herederos de los sumerios.
Tenían el conocimiento de cómo calcular el área de algunas figuras geométricas como el rectángulo, el triángulo y el trapecio; así como el volumen de algunos prismas rectos y pirámides de base cuadrada. Es probable que descubrieran las propiedades de la circunferencia, ya que asignaron a π un valor de 3, estableciendo la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo.
Los egipcios
Una antigua opinión transmitida por Herodoto, historiador griego (484-420 A.C), atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la Geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del río Nilo borraban continuamente sus extensiones. La aplicación de sus conocimientos geométricos se hicieron sobre la medida de la tierra, de lo cual se deduce el significado etimológico de Geometría, cuyas raíces griegas son: GEO (tierra) y METRON (medida).
Los egipcios aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de pirámides como la de KEOPS, KEFREN y MEKERINOS, que son cuadrangulares y sus caras laterales son triángulos equiláteros, la de KEOPS es una de las siete maravillas del mundo donde se ha comprobado que además de la precisión en sus dimensiones está perfectamente orientada.
Los conocimientos de los egipcios están contenidos en cinco papiros, siendo el de mayor interés el de RHIND donde se establecen las reglas para calcular el área del triángulo isósceles, área del trapecio isósceles y el área del círculo. Determinaron el valor de 3.1604 como relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, valor mucho más aproximado que el de los babilonios para π.
La geometría deductiva
Los griegos
Al decaer las civilizaciones egipcia y mesopotámica, gran parte de la geometría desarrollada por estos pueblos pasó a los griegos. Es un hecho maravilloso que los antiguos griegos no se hayan contentado con extender el número de resultados matemáticos conocidos, sino que transformaron el conjunto de resultados empíricos recibidos de sus antecesores en una ciencia deductiva, es decir, en una disciplina donde las reglas y leyes geométricas no se inducen de la observación de una multitud de casos particulares, sino que se establecen deductivamente mediante un razonamiento lógico.
Nada que se diga o se intente decir podrá exagerar la importancia y las repercusiones que tuvo el descubrimiento del razonamiento deductivo en la historia del pensamiento humano. Baste decir que este hecho marca el nacimiento de la ciencia moderna.
El pensamiento racional de los griegos condujo a los primeros matemáticos a buscar no sólo el “cómo”, sino además el “porqué” de los fenómenos y de la realidad que los rodeaba. Para ellos las matemáticas tenían un objetivo principal; entender el lugar que ocupa el ser humano en el Universo, de acuerdo a un esquema racional.
En Grecia comienza la geometría como ciencia deductiva, con los matemáticos, Tales de Mileto, Herodoto, Pitágoras de Samos y Euclides de Alejandría; quienes fueron a Egipto a iniciarse en los conocimientos de la geometría.
Geómetras
Tales de Mileto (600 a.C.)
Resolvió algunas dudas como la altura de las pirámides, la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles, que el valor del ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto, y demostró algunos teoremas relativos a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelas.
A Tales se le atribuyen también muchas aplicaciones de la geometría en la solución de problemas prácticos. Cuenta la historia que cuando estaba en Egipto, provocó la admiración de todos al calcular la altura de una pirámide por medio de sombras. Hay dos versiones de cómo Tales resolvió el problema anterior. Según una versión, midió la sombra de la pirámide en el momento en que la longitud de la sombra de un hombre y su altura eran iguales. La segunda versión dice que midió las longitudes de las sombras de la pirámide y de un bastón clavado en el suelo y luego utilizó triángulos semejantes.
Pitágoras de Samos (572 a.C.)
Se le atribuye el teorema que lleva su nombre c2 = a2 +b2 y que se enuncia: “El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos”. Otro de sus teoremas expresa: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a dos rectos”.
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Platón (400 a.C.)
Busto de Platón.
Esta pieza data del siglo IV d. C. y es una copia romana de un original griego.
Actualmente se encuentra en el Museo Pio-Clementino del Vaticano
En la primera mitad del Siglo IV a. C. se inició en Atenas un movimiento científico a través de la Academia de Platón. Para él, la matemática no tiene finalidad práctica sino simplemente se cultiva con el único fin de conocer. Por está razón, se opuso a las aplicaciones de la Geometría. Dividió a la Geometría en Elemental y Superior. La Geometría elemental comprendía todos los problemas que se podían resolver con regla y compás. La Geometría superior estudiaba los tres problemas más famosos de la Geometría antigua no resolubles con la regla y el compás.
Euclides de Alejandría (Siglo IV a.C.)
La geometría axiomática
En algún momento difícil de precisar, entre Tales (600 a.C.) y Euclides (300 a.C.), surgió en la matemática griega la idea de que la geometría podía construirse como una larga cadena de proposiciones, demostradas por deducción a partir de un número muy reducido de principios o postulados aceptados sin demostración desde el inicio.
El ejemplo más importante de un texto de geometría organizado axiomáticamente lo constituyen los Elementos de Euclides. Los Elementos no es sólo uno de los más grandes tratados en toda la historia de las matemáticas y el pensamiento humano, también ejerció una influencia que todavía es sensible en el desarrollo de la ciencia moderna y la enseñanza de las matemáticas.
Ningún texto, excepto quizás la Biblia, ha sido tan ampliamente utilizado, editado y estudiado como los Elementos. Desde su primera impresión moderna en 1482, se han publicado más de mil ediciones y mucho del contenido tradicional de los textos escolares de geometría plana y del espacio está basado en material extraído del libro de Euclides.
Los Elementos son, en gran parte, una recopilación de trabajos realizados por los matemáticos que precedieron a Euclides. Pero esto no le resta nada de valor, pues su gran mérito reside en la inteligencia con que se seleccionaron las proposiciones que lo forman, y se dispusieron lógicamente a partir de un pequeño grupo de suposiciones y postulados iniciales. Y aunque la crítica moderna ha encontrado algunos defectos en la estructura lógica del trabajo de Euclides, los Elementos constituyen el intento más antiguo y colosal de aplicación del método axiomático.
Estudio en Alejandría. Se encuentra en él una mentalidad práctica, un genio técnico, que lo llevó a investigar problemas de orden físico y resolverlos por métodos nuevos. Por esto, después de grandes disputas con los euclidianos, se retiró a Siracusa donde puso sus descubrimientos al servicio de la técnica.
Calculó un valor más aproximado de π (pi), el área de la elipse, el volumen del cono, de la esfera, etc. Estudió la llamada espiral de Arquímedes que sirve para la trisección del ángulo.
Su aportación más conocida es el denominado Principio de Arquímedes, que consiguió resolver mientras tomaba un baño, y que se puede considerar el inicio del desarrollo de la hidrostática.
Entre los numerosos inventos de Arquímedes también es destacable el tornillo sin fin, que originariamente fue utilizado como sistema para sacar agua de la sentina de los barcos, y posteriormente como sistema para elevar agua, harina o grano.
También es célebre la frase que se atribuye a Arquímedes “dadme un punto de apoyo y moveré el mundo” a partir de la cual podemos decir que nació el principio de la palanca.
